数学组《多媒体辅助“利用参数法探求轨迹”教学选析》

    多媒体辅助教学，在激发学生学习热情，扭转学习的不良习惯，最大限度地挖掘学习潜能方面起到了不可估量的作用。参数法是求轨迹方程的常用方法之一，在“利用参数法探求轨迹”教学时，利用《几何画板》制作出符合题意的图形，引导学生认真阅读，理解题意，观察动点的变化过程，考虑直接探求动点的两个坐标间的关系有困难，因此选择合适的中间变量作参数，使动点的坐标分别与参数有关，建立轨迹的参数方程，消去参数，得到轨迹的普通方程，同时注意参数方程中的参数对普通方程中的x，y范围的限制，参数法是求轨迹方程的重要方法，其关键在于选择适当的参数。一般来说，选择参数的原则是：①动点的变化是随着参数的变化而变化的，即参数要能充分反映动点的变化特征；②参数要与题设的已知量有着密切的联系。

     例  已知抛物线 中点M 的轨迹。

    分析一：

    （演示直线l的动态过程）

    教师：你们准备选择以什么作为参数？

    学生：一直线l的斜率作为参数。

    教师：设直线l的斜率为k，为什么要选择k作为参数？

    生：因为直线l过定点O，直线l的位置由k决定，而直线l的位置制约了动点M的运动。

    设点M的坐标为（x,y）， ，点A 的坐标为（x1 , y1） ,点B的坐标为（x2 , y2）

   把y=kx代入方程 ，并整理得 
   消去参数 
   教师：所求动点M的轨迹是什么？

    学生1：动点M的轨迹是抛物线 
学生2：动点M的轨迹是抛物线 
的一部分。（教师操作，显示轨迹）

    教师：通过计算机演示，同学们可以很清楚地看

到所求的动点M的轨迹是抛物线 的一部分。

   学生：为什么会出现这种情况呢？

   教师：让我们在来看一下直线 我们发现，直线l 有时与C有交点，有时没有交点，只有当直线l与C有两个交点的时候，动点M才存在。观察图象，我们也可以发现动点M的轨迹是抛物线 落在已知抛物线C内部的弧段。现在同学们想一想，在解题中如何确定所求抛物线的范围呢？

    学生：由于动直线l与抛物线C有无交点是由直线l的斜率 k决定的，因而由方程（*）中 
说明：若直线过定点，动点在动直线上面，可以取动直线的斜率为参数。

    分析二：

    教师：除了用斜率k作为参数外，还可以取什么作为参数？

    学生：从动直线的动画过程观察，我们可以选取 为参数。

    教师：对了，显然 作为参数，由于动直线过原点，可采用直线参数方程的标准式。
    说明：（1）若动直线过定点，涉及动直线上的动点到定点的距离，可采用直线参数方程的标准上式，取有向线段的数量t为参数。

    （2）若动点在直线上，而动直线恒过定点，且绕定点转动可取动角 为参数。

    分析三：

    教师：在动画演示中，我们发现动M是随着动直线l的运动而运动的，而实际上动点M 是线段AB的中点，因此最直接地可以看成是由什么运动引起的呢？

    学生：由动点A、B两点的运动引起的。

    教师：那么我们是否可以以动点A、B两点坐标作为参数呢？ 

    设 根据已知条件可以得到哪些方程？

    学生：由于点A、B在抛物线C上，故点A、B的坐标满足C的方程，

    即（1）      （2） 
    教师：除了这两个方程外，我们还得到什么？

    学生：由于动点M是线段AB的中点，故有

       （3）        （4） 
    教师：现在我们得到四个方程，由题设知有四个参数，要得到 的关系式，须几个方程呢？（注意：求轨迹方程时，如设m个参数，必须列的 ）

    学生：需要5个方程。

    教师：那么另外一个方程是如何得到的呢？

    学生： 
    从而有5个方程式：

    （5） 
    教师：很好。第五个方程式比较隐蔽，同学们在解题的过程中要充分挖掘显性或隐性条件，得到5个方程式，要消去4个参数。只要将方程式（2）—（1），用方程式（3）（4）（5）代入即可得到动点M的轨迹方程为抛物线 。
    注意到，点M在抛物线 内部（含焦点的区域）充要条件是 
    所以由 
    即动点M的轨迹为抛物线 的弧段。

    说明：所求动点恰为某一已知曲线动弦的中点，可设动弦两端点的坐标为参数，利用代点（的坐标）相减法即可得到动点M的轨迹。

    评析：上例通过对三种常用方法的分析，利用多媒体辅助教学，在动直线l的转动过程中，学生们非常直观地观察到哪些量在变，哪些量不变，帮助学生如何选取合适的变量为参数提供了直观的图形，尤其对于轨迹“不纯”或“不全”问题，通过多媒体显示轨迹，学生有了更加直观深刻的认识，使他们对此类问题记忆犹新，不易出错，这无疑为比较抽象的数学知识的传授提供了一个更加广阔的天地。学生学习潜能的开发，积极主动的创新意识的激发，需要教师创设有益于探索发现的情境。上例借助于现代教育技术，变传统教学中“静态”为“动态”，使以“形”助“数”的思想方法更加具体显示，有效地化解了教学难点，上例中的一题多解，通过传统教学模式和现代多媒体巧妙结合，有利于教学思想、方法的演变和演化过程的和谐统一。当然，任何多媒体的运用无不受着教育者思想的指导，无不折射出教育者对知识及教学规律的把握，只有懂得教学规律，熟悉教学过程，用先进的教育理论指导，才能把计算机辅助教学的研究提高到一个新天地的水平。