数学组 《在现代教育技术下论中学数学教学与学生创新意识和创新能力的培养》

一、问题的提出
解放后５０年来，我国中学数学教育的成绩是巨大的，学生在中学阶段所获得良好的数学基础训练，特别是在计算的训练和逻辑的严密性方面，在世界上都是名列前矛的。但是在成绩之下也潜伏着很大的危机，其一是学生的创新意识和创新能力较差，其二是学生应用意识、应用数学知识解决现代科学技术、生产、生活实际问题的能力较差。产生以上问题的原因是多方面的，反应在课堂教学上是教师传授知识讲得多，学生对教学过程的参与程度低，教师为了赶进度，课堂上没有给学生充分思考的时间和空间，学生始终处于被接受的地位。课堂教学只重“结果”，而忽视了引导学生自己去发现知识的“过程”，教师激励学生，给学生太多的“好胜心”，学生刻苦学习、基础扎实，但缺乏对科学，知识的“好奇心”。教学注意到了数学本身问题的解决，却忽视了教学和自然科学技术、生产生活实际的联系，忽视了对学生创新意识的培养。深深的题海，学而无味！
要改革我国中学数学教育的现状、解决潜在危机和培养高素质的人才，必须彻底改变教师的传统的观念，即从以教师为中心要转化到以学生的发展为主体目标的轨道上来，还学生以主动权，努力培养学生的创新意识和创新能力，为此我们提出了创新工程的教改实验。                                                                                                                                                                                                                                                          
二、主要目标
１、从以获取知识为首要目标，转变为关注学生的发展，创造一个有利于学生生动活泼、主动发展的教育环境，提供给学生刻苦发展的时间和空间，使学生获得作为一个公民所具备的基本数学知识和技能，为学生终生可持续发展打下良好的基础。
２、 努力培养学生的创新意识与创新能力，即使学生在理解数学知识 “来龙去脉” 的基础上，培养学生观察发现、分析、解决问题的能力，即获得知识的能力，包括把实际问题上升为数学模型，并加于解决问题。在全面提高数学教育质量基础上，培养一批力求创新、广博通知、开拓进取的人才。
三、 创新工程的课堂教学模式
创新工程要在课堂教学中注意培养学生观察、猜想、发现、提问及分析解决问题的能力，充分落实以学生为主体，教师为主导的教学原则，注意培养学生的创新意识和创新能力，全面提高教育质量，其教学模式可归纳为八个环节如上图：
下面以《椭圆及其标准方程》为例来谈一下如何在中学数学教学课堂与创新意识落实创新能力的培养。
椭圆概念的引入
１、 复习深化：联想旧知识或命题，对旧知识或命题进行更深化的理解，为学生的类比创新打造基础，培养学生分析归纳联想的能力。
问题一：圆的几何特征是什么？
大部分学生能过回答：“圆上的任意一点到圆心（定点）的距离等于半径（定长）”。
　　问题二：除上述的特征外，你还能说出具有那些特征的点的轨迹也是圆？―――启　
发学生回忆所学的例题、练习题中的有关的轨迹问题。
学生进行讨论和查阅课本后能回答：
“到两定点距离的平方和为常量的动点的轨迹是圆”
 “到两个顶点的连线的斜率乘积等于－１的动点的轨迹也是圆。”（当然还应除去两定点）。
２、 类比创新：在深化理解了旧知识或命题的基础上，类比推导出一些新的较有代表意义的命题，达到对学生的类比创新能力的培养。
问题三：我们已经知道“到两点的距离的平方和为常量”，你是否可类似地提出一些轨迹命题作更广泛的探索？［教师可类似的给予启发和引导，并让学生分组进行讨论］
学生会提出下列的轨迹命题，如：
“到两点的距离之和等于常量的动点轨迹。”
“到两定点距离平方差等于常量的动点轨迹。”
“到两动点距离之差等于常量的动点轨迹。”
“到两定点的立方和（差）等于常量的动点的轨迹”“
（类比的能力大部分学生是具有的）
教师应给学生以鼓励和适当的引导，并对学生这中勇于探索、勇于创新的精神给于赞赏和大力的肯定，并指出这些问题正是我们以后要学习并逐步解决的问题，学生自己课后在计算机上利用（几何画板）思考一个画图方法画出满足上述命题的点的轨迹。（学生是在初步掌握了几何画板的基础上来上这一节课）
３、 分析命题：在类比联想出来的几个命题中，确定这节课要研究的命题，让学生分组讨论，对命题进行分析，培养学生的分析能力。
问题四：在平面内，若动点到两顶点的距离之和为常量，则此动点的轨迹是什么？请同学生设计一种尺规的绘图方法，画出符合这种几何条件的轨迹？
４、 探索方案：在分析的基础上，提出解决这个命题的方案或途径，培养学生的探究精神，达到对学生创新意识和创新能力的培养。
学生经过互相讨论，思考出以下的作图方案：
（１） 在平面内确定一条直线 ，在直线 上找到两个定点 。
（２） 作一条线段AB（可调节长短），在线段上任取一点C。
（３） 以F1和F2为圆心，AC和AB长为半径分别作圆，两圆交于点P1和P2。
（４） 当点C在线段上的位置不同时，两圆的交点位置也不同，从而做出交点的轨迹。
５、 自我实践：学生所提出的解决问题的方案，利用辅助设备，自己动手去研究命题的结果，培养学生的实践能力和解决问题的能力
在几何画板上的作图过程如下：


图一

　　　　　　　　　　　　　图二　　
学生在自己的计算机上做出椭圆的轨迹。回答：是椭圆。
６、 深入研究：学生刚提出的命题具有不完善性，学生应在实践基础上去研究命题可能存在的漏洞，培养学生的全局观和完善思维的能力。
在上述的基础上引导学生概括椭圆的概念。学生开始一直强调主要的几何特征―――到两顶点的距离之和等于常量。这时让学生在自己的计算机上调整线段AB的长度，学生会发现当线段长小于或等于线段的长时，都不能形成椭圆，前者轨迹不存在，后者变成了线段。如图三和图四：

　　　　　　　　　　　　　图三
　　　　　　　　　　　　　图四
所以还必须加上限制条件：“此常量大于两定点之间的距离。”
７、 提出命题：在完善命题的基础上正式提出完整的命题。
这是学生得到完整的椭圆的定义：平面内到两顶点的距离之和等于常数（大于两定点距离）的点的轨迹叫椭圆。教师顺便指出：我们规定其中两定点叫做椭圆的焦点，两交点之间的距离叫做焦距。
推导椭圆的标准方程- 
８、 命题延伸：命题的内延和外拓，可使学生通过自身积极主动的探索和研究，建立新命题的知识体系，加深对新知识的理解和掌握，达到对新知识的全面建构，并进一步培养了学生创新能力和创新意识。
问题五：给出椭圆的定以后，如何建立曲线的方程了？如何建立适当的坐标轴了？
让学生讨论各种方案后，学生可以发现下列的方法由于充分得利用了图形的对称性和使关键的点的坐标、关键的几何量的表达式简单化，所以是可取的：
以两定点的连线为x轴，一线段的垂直平分线为y轴，设 ，M(x,y)为椭圆上任意一点，则有 。
其余求椭圆的方程的步骤由学生完成（在学生的推导过程中要注意培养学生的运算能力）：
学生可得到这一方程：
 
为使方程更为对称和谐，由 ，令 ，则可得方程
 　（其中 ）
（关于证明所得的方程是椭圆的方程，因教材要求不高，教师可作简单的提示就可。）
教师指出：我们称这一方程为焦点在x轴上的椭圆的标准方程。同样的道理，我们可求出焦点在y轴上的椭圆的标准方程：
 　　（其中 ）
问题六：对椭圆标准方程的推导，你能否有所创新？
这时教师打开刚才学生作椭圆轨迹的图形，把两定点F1和F2渐渐拉近，当重合为一点时，椭圆变为圆，这时提示学生是否可找到椭圆和圆的标准方程之间的联系（如图四）：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　图四
学生经过讨论和教师的指导得到，把圆 上各点向x轴压缩，即把纵坐标缩短到原来的 倍，得到椭圆方程　　 　　即　　 
还有的学生由 联想到 （教师可适当指导），从而想到了三角函数的定义，并利用如下的构造方法：分别以为半径，以原点为圆心，对每一个角 ， ，即可借助这两个同心圆，用画图法可得到椭圆的点即：
 ［为以后学习椭圆的标准方程打下基础］
［本节课通过问题情景的提出，教师设计科学结论产生的辨证过程即：复习深化　　　类比创新　　　分析命题　　　　探索方法　　　　自我实践　　　　深入研究　　　　提出命题　　　　　　　　　　　　　　　　　
　命题延伸这八个过程，在学生积极参与、主动操作的前提下，让学生建立自身的知识体系，使学生达到对新知识的全面建构，从而培养了学生的联想能力、分析能力、归纳能力、概括能力和解决问题的能力，进一步培养学生的创新意识和创新能力，使学生了解到科学结论的产生过程，培养学生的辨证唯物主义思想。］