[高一上]子集、全集、补集(人教版)

　　1．子集
　　在集合与集合之间，存在着“包含”与“相等”的关系．
　　先看集合与集合之间的“包含”关系．设
　　A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}，
　　集合A是集合B的一部分，我们就说集合B包含集合A．
　　一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作
　　AB(或BA)．
　　这时我们也说集合A是集合B的子集．
　　当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作
　　AB(或BA)①．
　　我们规定：空集是任何集合的子集．也就是说，对于任何一个集合A，有
　　A．
　　再看集合与集合之间的“相等”关系．设
　　A={x|x2-1=0}，B={-1，1}，
　　集合A与集合B的元素是相同的，我们就说集合A等于集合B．
　　一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作
　　A=B．
　　由集合的“包含”与“相等”的关系，可以得出下面的结论．
　　（1）对于任何一个集合A，因为它的任何一个元素都属于集合A本身，所以
　　AA，
　　也就是说，任何一个集合是它本身的子集．
　　我们常常涉及“真正的子集”的问题．对于两个集合A与B，如果AB，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作
　　AB(或BA)．
　　（2）对于集合A，B，如果AB，同时BA，那么A=B．
　　例1写出集合{a，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集．
　　解：集合{a，b}的所有的子集是，{a}，{b}，{a，b}，其中，{a}，{b}是{a，b}的真子集．
　　例2解不等式x-3＞2，并把结果用集合表示．
　　解：x＞5，
　　原不等式的解集是{x|x＞5}．
　　练习
　　1．写出集合{a，b，c}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集．
　　2．用适当的符号(∈，，=，，)填空：
　　（1）a______{a}；
　　（2）a______{a，b，c}；
　　（3）d______{a，b，c}；
　　（4）{a}______{a，b，c}；
　　（5）{a，b}______{b，a}；
　　（6）{3，5}______{1，3，5，7}；
　　（7）{2，4，6，8}______(2，8}；
　　（8）______{1，2，3}．
　　（2）解不等式3x+2＜4x-1，并把结果用集合表示．
　　2．全集与补集
　　看一个例子．
　　设集合S是全班同学的集合，集合A是班上所有参加校运动会的同学的集合，而集合B是班上所有没有参加校运动会的同学的集合，那么这三个集合有什么关系呢?容易看出，集合B就是集合S中除去集合A之后余下来的集合．
　　一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集(即AS)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)，记作SA，即
　　SA={x|x∈S，且xA}．
　　图1-4中的阴影部分表示A在S中的补集SA．
　　例如，如果S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，那么
　　SA={2，4，6}．
　　如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示．
　　例如，在实数范围内讨论问题时，可以把实数集R看作全集U，那么，有理数集Q的补集UQ是全体无理数的集合．
　　练习
　　1．填空：如果S={x|x是小于9的正整数}，A={1，2，3}，B={3，4，5，6}，那么SA=______，SB=______．
　　2．填空：
　　（1）如果全集U=Z，那么N的补集UN=______；
　　（2）如果全集U=R，那么UQ的补集U(UQ)=______．