体积
教学目标
1.使学生能熟练地掌握和运用简单多面体和旋转体的求积(面积和体积)公式；
2.进一步培养学生研究空间问题的转化能力；
3.要求学生在掌握好解多面体和旋转体问题基本方法的基础上，注意方程思想、割补思想和
等积变换思想的指导作用，以期提高综合运算能力；
4.通过对典型例题的分析，培养学生一题多解的发散性思维能力.
教学重点和难点
本节课的教学重点是突出元素度量关系的分析，加强综合运算的规律与方法的指导.教学难点是诱导学生分析几何体的空间结构，并根据题目中所给几何体的结构特点，去揭示元素之间的内在联系.
教学设计过程
一、复习讨论
师:研究简单几何体的求积运算问题是立体几何第二章的中心议题，也是以后我们日常生活
中经常要接触到的问题.今天，我们在复习旧知识的基础上，进一步总结运算规律，寻找解
决问题的办法.(板书课题)
师:请同学们一起来回忆多面体和旋转体的求积(侧面积和体积)公式.
(放幻灯片，引导学生回忆，学生口答公式，最后给出正确答案.)
(注:其中C，C′及S，S′分别为正棱台上、下底面周长和面积，h，h′分别为多面体的高和斜高，r,r′分别为圆台的上、下底面半径，l为母线长，R为球的半径)
师:为了能使用公式，我们还必须要先求出公式中所需的几何体基本元素的数值大小.那么，在柱、锥、台、球的性质中，哪些性质较多地集中了它们基本元素(如:侧棱、高、斜、高、母线等)间的相互关系?
(幻灯分别打出棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、棱台、圆台和球的示意图，帮助没学们寻找和归纳.讨论后，再请几位同学上讲台，边指图边报告讨论结果)
生甲:在棱柱中，可以通过侧面和过不相邻的两条侧棱的截面即为对角面来把棱柱中的基本元素纳入同一平面.
生乙:在正棱锥中，有2个特征直角三角形起到了把锥体中的基本元素联系在一起的作用.
它们是:由棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影所组成的直角三角形(如图RtΔSOD)；由棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影组成的直角三角形(如图RtΔSOA).
生丙:(补充)棱锥中，RtΔSAD和RtΔOAD也有一样的作用.
生丁:因为棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥而得的，所以在正棱台中有3个特征直角
梯形和1个直角三角形(如图:O1，O2为上、下底面中心，O1E⊥A1B1，O2F⊥AB，直角梯形有
O1O2FE，O1O2AA1，A1EFA，直角三角形是ΔO2FA)
生:在旋转体中是它们的轴截面.
师:(归纳与讲评)刚才几位同学的发言都很好.无论是多面体，还是旋转体，它们的基本元素往往都集中在几个特征直角三角形、几个特征直角梯形、平行四边形和圆中，掌握了这一规律，我们在以后的解题过程中，只要抓住具体问题的特点，根据基本关系的分析，就可以把空间问题转化为解各个具体的三角形、梯形、平行四边形或圆了.
二、课堂练习，例题分析
例1 (1)正四棱台的两个底面的边长分别为a和b(a＞b)，侧棱和底面的夹角为2，则它的侧面积是 .
(2)圆台上、下底面半径分别为r，R，平行于底面的截面把圆台分成侧面积相等的两个部分，则以此截面为底面，圆台所在的圆锥的顶点为顶点的圆锥与该圆台的体积比为 .
(教学手段采用先练习，教师巡视，后讲评的方法)
研究第(1)小题.
师:谁愿意说说你的解题思路.
生:我从求入手，欲求侧面积S台=12(C+C′)h′,又C=4a,C′=4b，所以只需求出斜高h′.在直角梯形O1O2EE1中，O1E1=12b,O2E12a，欲求EE1(即h′),只需求O1O2，即棱台的高h，在直角梯形O1O2BB1中，O1B1=2 2b，O2B=2 2a.又∠B1BD2为侧棱与底面所成的角，有∠B1BO2=2，则h=2 2(a-b)tgα.
由此,h′=a-b 2 1+2tg22,代入公式得S台侧=(a2-b2)1+2tg22.
师:分析法不仅在几何证明中是探索证题途径的有效方法，也是解决综合计算题的有效方法.解题时，应首先根据公式，对各个量逐个分析，采取缺什么、求什么；要什么，找什么，并根据各几何体的特征，从一个平面转到另一个平面进行计算.
师:还有别的求解办法吗?
生:由于这是一道填空题，所以我想借助一道作业题的结论求解.“若正棱台的侧面与底面所成的角为θ，则
S台侧=S下底-S上底 cosθ.”
此题中，∠E1EO2为侧面与底面所成的角.而
tgE1EO2 tg2=O2B O2E=2.
所以，S棱台侧=a2-b2 cosE1EO2=(a2-b2)·1+tg2E1EI2=(a2-b2)·1+2tg22.
师:在做选择题和填空题时，若能利用书本中例题与作业的结论，解题步骤就会简便了.
研究第(2)小题.
师:我们还能否采用第(1)小题的方法“缺什么，求什么”吗?
生:此题中的未知待求元素太多，根本没法直接求出其中的一个元素.
师:那该怎么办?
生:可以试一试设未知数，列方程求解.
师:设什么?如何列方程?
生:平行于底面的截面是个关键.我想设此截面半径为x.以r,x分别为上下底面圆半径的圆台的母线为l1,以r,R为上下底面圆半径的圆台的母线为l，先求出x.
在圆台的轴截面中，做A2B⊥AO交A1O1于B1，那么ΔA2A1B1∽ΔA2AB，依题意可得方程组
π(R+r)l=2π(r+x)l1,
l1 l=x-r R-r.
解得 x=R2+r2 2.
再求圆锥SO1与圆台OO2的体积比，那么就要用到圆锥和圆台的高，所以我设SO1=h1,OO2=h2.
欲求V圆锥SO1 V圆台OO2=1 3πx2h1 1 3πh2(r2+R2+rR)①，只需求h1 h2即可.在圆锥的轴截面中，ΔSA1O1∽ΔA2AB.又A2B=h2，所以h1 h2=x R-r②，那么体积比就可以求出来了.即把②代入①，有
V圆锥SO1 V圆台OO2=x2 R3-r3=2 (R2+r2)R2+r2 4(R3-r3)
师:当我们以后再遇到问题中未知元素很多，元素之间的数量关系也很多时，可考虑“设未知数列方程”求解.
生:我想到了锥体平行于底面的截面性质.
V圆锥SO1 V圆台OO2=V圆锥SO1 V圆锥SO-V圆锥SO2=x3 R3-r3，
化体积的比为截面与底面中对应线段的立方比.然后再列方程求x，问题就可以得到解决.
师:在求圆台OO2体积的过程中，充分体现了分割转化的思想.
V圆台OO2=V圆锥SO-V圆锥SO2.
又V圆台SO1∶V圆锥SO∶V圆锥SO2=x3∶R3∶r3.
再一次巧妙地使用了比例的性质.
练习:一个长方体AC1的对角线A1C长为l，这条对角线与一个侧面AD1的夹角为45°；与底面AC的夹角为30°，求长方体的体积及其全面积.
(请一位同学板演)
解:设长方体的长、宽、高为a,b,c.
因为 C1C⊥面AC，
所以 ∠C1AC即为AC1与面AC的夹角，∠C1AC=30°.同理，∠C1AD1为AC1与面AD1所成角，∠C1AD1=45°.
a2+b2=cos 30°l,
依题意可得 a2+c2=cos 45°l,
a2+b2+c2=l2
a=1 2l,
解得 c=1 2l,
b=2 2l.
由V=abc,得V长方体=2 8l3.
由S全=2(ab+bc+ca),得S全=1+2 2 2l2.
师:大家可以看到这三道题都是对单个的多面体或旋转体的求积计算.下面，我们转入对比较复杂的由多面体和旋转体复合放置在一起的“组合体”的研究.
例2 一个正方体所有的顶点都在球面上，如果这个球的体积为V，求正方体的棱长.
师:首先；我们怎样把这类问题转化为平面图形的计算?
(同学们较少接触到此类问题，还需继续启发引导)
师:在旋转体中它的主要元素的关系集中在轴截面中，球的主要元素在它的大圆中；而正方体的主要元素关系在各个侧面及对角面上，我们能否做一个截面，使得二者兼顾?
师:过正方体一个面作截面行吗?
生:(讨论)不行.因为这样截得的是球的小圆.
师:由对称性可知，正方体的中心一定就是球的中心，要得大圆必须过球心作截面，过球心作一个平行于正方体一个面的截面行吗?
生:(讨论)也不行，因为这样截得的正方体的截面四个顶点不在大圆上.
师:我们希望截得的正方体的截面的顶点在大圆上，那么这个截面应是正方体的什么截面?
生:对角面.
师:好，这样正方体的截面是一个什么平面图形?
生:矩形.
师:球与正方体的基本元素间取得了什么联系?
生:正方体的对角线，恰是球的直径.
师:(画截面图)若设正方体棱长为a，球半径为R，可得等式3a=2R，已知球的体积为V，则如何消去中间量R是解题的关键.(请同学口述解答)
解:若设正方体棱长为a，则对角线A1C=3a.有等式3 a=2R,那么，R=3 2a,又V=4 3πR3=3 2
πa3.所以，a3=2 3V 3π.
故 a=32V 63π3=3 3π 36π2V.
师:此题的解，关键在于正确地选择一个轴截面，它不仅要求是一个大圆，而且要求通过“接”点.一般说来，处理组合体的元素关系问题，要抓住“接”点或者“切”点，这是转移数量关系的桥梁、纽带，请同学们再思考下面几个问题:
(1)如果一个正方体的内切球半径为R，正方体的棱长是多少?
生:因为“切”点在各个面的中心，对面距离就为内切球的直径，所以a=2R.
(2)如果一个正方体的各棱都与一个球相切(把正方体想象成一个框架)，上述问题结果又将发生什么变化?
生:因为“切”点恰在各棱的中点，对棱中点间的距离(即一个侧面对角长)为该球的直径.所以2a=2R，即得a=2 2R.
(3)若半径为R的球有一个棱长为a的内接正四面体，那么R与a之间有什么等量关系?此题留作大家课外思考.
三、小结
我们通过对前几道例题的分析和讨论，已经总结得到了一些解题规律，它们是:(打幻灯)
(1)解决多面体和旋转体的计算问题，可根据题目的具体特点，采用不同的方法，对于待求元素少的问题，可根据公式，采用“缺什么，找什么；要什么，求什么”的方法，抓住数量关系集中的平面，通过分析逐层求得，对于待求元素多的问题，可根据数量关系采用“设未知数、列方程”的方法.
(2)对于多面体和旋转体复合放置的一类组合体的求积问题，关键要抓住“接”点与“切”点的位置，适当地选择截面.
师:下面，请同学们继续开动脑筋，看看通过对例3的分析研究，还会给咱们带来一些什么新思路.
例3 已知:在三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，PA=BC=l，PA，BC的公垂线ED=h.
求证:三棱锥P-ABC的体积V=1 6l2h.
师:欲求三棱锥的体积，根据公式V锥=1 3Sh,只需求出两个基本元素锥的底面积S及其顶点到这个底面的距离h.
(1)欲求锥高，必先确定它的位置.它隐藏在哪个截面中了?
生:从顶点P向底面ABC所引的垂线，应在过P且垂直于底面ABC的平面内.
师:PA与DE所确定的平面与底面ABC具有什么位置关系?
生:垂直.
师:理由呢?
生:连PD，AD.因为BC⊥PA，BC⊥DE，所以BC⊥平面PAD.又BCÌ平面ABC，则平面PAD⊥平面ABC.
师:如何作出底面ABC上锥体的高?
生:过P做PH⊥AD于H，则PH⊥平面ABC.那么PH即为三棱锥PÌABC的高.
(2)如何求出底面ΔABC的面积?
生:由于BC⊥平面PAD，又AD平面ABC，所以AD⊥BC.SΔABC=12·AD·BC.
师:V锥=1 3·SΔABC·PH=1 6l·AD·PH，若能再求出AD·PH，问题就可以解决了.
生:在ΔAPD中，ED⊥PA，所以SΔAPD=1 2·PA·ED.又PH⊥AD，SΔAPD=1 2·AD·PH，则有AD·PH=PA·ED=lh，那么，V锥=1 6l2h.
师:我们又可以总结出一些经验:应用公式前，必须进行必要的论证，以保证计算的合理性；计算时可把公式看成一个整体，为了求体积，不一定要把公式中的每一个元素都求出来再代入公式，有时可以把公式中的一部分整体计算.
师:此题还有别的解法吗?
生:由于三棱锥是一个特殊的棱锥，它的任何一个顶点都可以作为其锥体的顶点.通过刚才的讨论，我想BC⊥平面APD，若把三棱锥P-ABC看成两个小三棱锥B-APD和C-APD拼合而成的，那么V锥P-ABC=V锥B-APD+V锥C-APD.又BD，CD分别为三棱锥B-APD，C-APD的高，底面ΔABC的面积，又可求(公式12·AP·ED，即12lh),所以V锥P-ABC=1 3×1 2lh×(BD+CD)=1 6l2h.
师:这种办法非常巧妙.通过恰当选择三棱锥的顶点，体积公式中的底面积和高都变得好求了，这样求积运算也就变得简捷了，这正是等积变换在求积运算中的作用.从另一个角度来看，平面APD把三棱锥P-ABC切割成了两个部分.由此，把一个侧棱与底面无特殊几何关系的三棱锥转化成了两个有一侧棱垂直于底面的三棱锥.
生:由于一个三棱锥的体积是与它等底面积等高的三棱柱体积的1 3，我想把三棱锥补成一个三棱柱.
过B在平面PAB内作BQ∥=AP，过C在平面PAC内作CR∥=PA，连结PQ，PR，则PQR-ABC为一斜三棱柱.由于PA⊥BC，ED⊥PA，则PA⊥平面BCE，即面BCE为三棱柱的直截面，V柱=SΔBCE·PA=1 2·ED·BC·PA=1 2l2h.所以 V锥PABC=1 3V柱=1 6l2h.
师:几何体的补形变换，也是求积的重要方法之一.
小结:(打幻灯)
(3)通过导积变换和割补变换，我们可以把一个不规则的几何体求积问题化归转化为一个规则的几何体求积问题，达到简化运算的目的.
四、作业
1.一个圆台的母线长为5cm，两底面半径比为2∶5，侧面展开图的圆心角为216°.求这个圆台的侧面积和体积.(侧面积:35π；体积:52π)
2.正四棱柱的对角线长为9，全面积为144.求它的底面边长和侧棱长.(底面边长为4，侧棱长为7；底面边长为6，侧棱长为3)
3.长方体一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上.求这个球的表面积.(50π)
4.四面体SABC中，M，N，P，Q分别为棱SB，SC，AC，AB的中点.
(1)求证:M，N，P，Q四点共面；
(2)求平面MNPQ把四面体分成的两部分的体积比.(1∶1)
5.已知斜三棱柱的一个侧面积为S，此侧面与相对侧棱间的距离为a.求斜三棱柱的体积.(提示:用割补思想指导求解，V柱=1 2Sa)
课堂教学设计说明
几何体的求积(面积和体积)问题，是历年高考中的重点考查内容之一.而学生对这一章知识的认识经常只停留在简单代公式计算的程度上.所以，他们往往忽视对几何体空间结构的认真分析，缺乏总结综合运算规律的学习环节，这样就达不到借助对具体几何体的研究来进一步培养学生空间想象能力的目的了.因此，教师应及时指导学生分析几何体的结构特点，帮助学生总结运算方法.
这节课的目的就在于①巩固学生已有的求积运算方法“缺什么，找什么，要什么，求什么”(抓问题基本元素间关系)；②诱导学生自己发现当要研究的问题中未知量及其数量关系较多时，可以利用方程的思想求解(提供学生一种常用的解题思维方法)；③培养学生解决问题的应变能力——割补法与等积变换法在求积中的运用.这三点正是我安排的几个例题各想达到的目的.另外，例2要求学生认真分析组合体的结构特点.
这节课应放在复习完基本概念之后再使用.
补充说明
近年来，求积问题的高考试题主要考查三个方面内容，一类是求几何体的侧面积、全面积和体积；一类是已知几何体的面积或体积求它的高、斜高、半径等，还有一类是求几何体的面积或体积的最值问题，针对高一学生的能力情况，应由易到难，不易一步到位.
建议这个课题的复习课再安排1～2节.