[高二下]《二面角》说课稿(北师大版)

（该说课参加2000年福建省首届高中数学青年教师说课比赛获省一等奖。）
            
我说的课是立体几何第一章《直线和平面》第十四节《二面角》。
一、教材分析
1、教材地位和作用
    二面角及其平面角的概念是立体几何最重要的概念之一。二面角的概念发展、完善了空间角的概念；而二面角的平面角不但定量描述了两相交平面的相对位置，同时它也是空间中线线、线面、面面垂直关系的一个汇集点。搞好本节课的学习，对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有十分重要的意义。教学大纲明确要求要让学生掌握二面角及其平面角的概念和运用。
2、教学目标  
    根据上面对教材的分析，并结合学生的认知水平和思维特点，确定本节课的教学目标：
    认知目标：（1）使学生正确理解二面角及其平面角的概念，并能初步运用它们解决实际问题。（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的化归思想。
    能力目标：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养，从而提高学生的创新能力。（2）通过对图形的观察、分析、比较和操作来强化学生的动手操作能力。
    教育目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，从而增强学生应用数学的意识。(2)通过揭示线线、线面、面面之间的内在联系，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。    
3、本节课教学的重、难点是两个过程的教学：（1）二面角的平面角概念的形成过程。（2）寻找二面角的平面角的方法的发现过程。其理由如下：
    （1）现行教材省略了概念的形成过程和方法的发现过程，没有反映出科学认识产生的辩证过程，与学生的认知规律相悖，给学生的学习造成了很大的困难，非常不利于学生创新能力、独立思考能力以及动手能力的培养。
    （2）现代认知学认为，揭示知识的形成过程，对学生学习新知识是十分必要的。同时通过展现知识的发生、发展过程，给学生思考、探索、发现和创新提供了最大的空间，可以使学生在整个教学过程中始终处于积极的思维状态，进而培养他们独立思考和大胆求索的精神，这样才能全面落实本节课的教学目标。。
二、指导思想和教学方法
    在设计本教学时，主要贯彻了以下两个思想：
1、树立以学生发展为本的思想。通过构建以学习者为中心、有利于学生主体精神、创新能力健康发展的宽松的教学环境，提供学生自主探索和动手操作的机会，鼓励他们创新思考，亲身参与概念和方法的形成过程。
2、坚持协同创新原则。把教材创新、教法创新以及学法创新有机地统一起来，因为只有教师创新地教，学生创新地学，才能营建一个有利于创新能力培养的良好环境。
    首先是教材创新。（1）在二面角的平面角概念引入上，我变课本上的“直接给出定义”为“类比——猜想——操作——定义”，也就是变封闭的、逻辑演绎体系为开放的、探索性的发现过程。（2）在引入定义之后，例题讲解之前，引导学生发现寻找二面角的平面角的方法，为例题做好铺垫。（3）重新编排例题。
    其次是教法创新。采用多种创新的教学方法，包括问题解决法、类比发现法、研究发现法等教学方法。 
    这组教学方法的特点是教师通过创设问题情境，引导学生逐步发现知识的形成过程，使教学活动真正建立在学生自主活动和探索的基础上，着力培养学生的创新能力。
    这组教学方法使得学生在解决问题的过程中学数学，用数学，不仅强调动脑思考，而且强调动手操作，亲身体验，注重多感官参与、多种心理能力的投入，通过学生全面、多样的主体实践活动，促进他们独立思考能力、动手能力等多方面素质的整体发展。
    教学手段的现代化有利于提高课堂效益，有利于创新人才的培养，根据本节课的教学需要，确定利用《几何画板》制作课件来辅助教学；此外，为加强直观教学，教师可预先做好一些模型。
    最后是学法创新。意在指导学生会创新地学。
1、乐学：在整个学习过程中学生要保持强烈的好奇心和求知欲，不断强化自己的创新意识，全身心地投入到学习中去，成为学习的主人。
2、学会：在掌握基础知识的同时，学生要注意领会化归、类比联想等数学思想方法的运用，学会建立完善的认知结构。
3、会学：通过自已亲身参与，学生要领会复习类比和深入研究这两种知识创新的方法，从而既学到知识，又学会创新。
三、程序安排    
（一）、二面角
1、揭示概念产生背景。
    心理学研究表明，当学生明确数学概念的学习目的和意义时，就会对概念的学习产生浓厚的兴趣。创设问题情境，激发了学生的创新意识，营造了创新思维的氛围。
    问题情境1、我们是如何定量研究两平行平面的相对位置的？
    问题情境2、立几中常用距离和角来定量描述两个元素之间的相对位置，为什么不引入两平行平面所成的角？
    问题情境3、我们应如何定量研究两个相交平面之间的相对位置呢？
通过这三个问题，打开了学生的原有认知结构，为知识的创新做好了准备；同时也让学生领会到，二面角这一概念的产生是因为研究两相交平面的相对位置的需要，从而明确新课题研究的必要性，触发学生积极思维活动的展开。
2、展现概念形成过程。
 角 二面角
引入
     一直线上的一点把这条直线分成两部份，每一部份称为半直线（射线）。 
     一平面内的一条直线把这个平面分成两部份，每一部份称为半平面。
定义
     从一点出发的两条半直线（射线）所组成的图形。
     从一条直线出发的两个半平面所组成的图形。
构成
     半直线——点——半直线（边） （顶点） （边）
     半平面——直线——半平面（面）   （棱）   （面）
表示法 ∠AOB α—a—β或  α—AB—β
问题情境4、那么，应该如何定义两相交平面所成的角呢？
    创设这个问题情境，为学生创新思维的展开提供了空间。结合电脑演示，引导学生回忆平面几何中“角”这一概念的引入过程。

问题情境5、通过类比，同学们能给出二面角的概念吗？
    引导学生将平面几何中角这一概念的引入过程，通过类比，迁移到两相交平面所成角——二面角的引入上，从而实现知识的创新。教师先肯定学生的创新结果，给予积极的评价，强化他们的创新意识。由教师板书于表中右侧。
问题情境6、同学们能举出一些二面角的实例吗？
    由教师出示预先准备好的二面角的模型，要求学生作出它们的直观图，教师预先在《几何画板》里画好。通过实际运用，可以促使学生更加深刻地理解概念。
（二）、二面角的平面角   
1、揭示概念产生背景。 
问题情境7、观察以上几个图形，它们有什么异同？（电脑出示图形）
    引导学生对图形进行观察、分析、比较，发现各二面角的“倾斜程度”即大小不一样。在教学中，诱发学生的直觉思维是培养学生创新思维的重要途径。
问题情境8、能把它们的大小度量出来吗？
    这样就从度量二面角大小的需要上揭示了二面角的平面角概念产生的背景。
2、展现概念形成过程
（1）、类比。教师启发，寻找类比联想的对象。 
问题情境9、我们以前碰到过类似的问题吗？
    引导学生回忆前面所学过的两种空间角的定义，电脑演示以提高效率。
问题情境10、两定义的共同点是什么？
  生：空间角总是转化为平面的角，并且这个角是唯一确定的。
问题情境11、这个平面的角的顶点及两边是如何确定的？
（2）、提出猜想：二面角的大小也可通过平面的角来定义。
    对学生提出的猜想，教师应该给予充分的肯定，以培养他们大胆猜想的意识和习惯，这对强化他们的创新意识大有帮助。
问题情境12、那么，这个角的顶点及两边应如何确定呢？
生：顶点放在棱上，两边分别放在两个面内。 
    这也是学生直觉思维的结果（3）、探索实验。向学生指出，猜想所得结果，要通过进一步探索，以决定其价值。教师利用预先准备好的二面角和角的模型，师生共同做实验。学生可利用课本和两根铅笔作为二面角及角的模型。

    通过实验发现，∠AOB的大小无法确定，因此不能用这样的角来度量二面角的大小。通过实验，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的动手操作能力。
最后，教师再利用《几何画板》把刚才的实验通过电脑演示出来，以加深同学的印象。
（4）、继续探索，得到定义。
问题情境13、那么，怎样使这个角的大小唯一确定呢？
    师生共同探讨后发现，角的顶点确定后，要使此角的大小唯一确定，只须使它的两条边在平面内唯一确定，联想到平面内过直线上一点的垂线的唯一性，由此发现二面角的大小的一种描述方法。
（5）、自我验证：要求学生阅读课本上的定义。并说明定义的合理性，教师作适当的引导。
（1）理论证明。当顶点为棱上任意一点时，由等角定理，此角的大小是唯一确定的，因此把这个角定义为二面角的平面角。
（2）直观检验。要求学生作出图一的平面角，并说明其大小与两平面倾斜程度的正相关性，从而说明此定义的合理性。教师用《几何画板》演示。
经过师生共同研讨，学生不仅学会了二面角的平面角的定义，而且懂得了为什么要这样定义，今后如何给数学下定义。其意义不仅在于掌握定义是如何描述的，更重要的是让学生领会到知识创新的思维过程和思维方法，从而提高他们的创新能力。
（三）、深入研究——从定义到方法。
    复习旧知识，通过类比迁移可实现知识创新；通过对新知识的深入研究则可以实现知识的再创新。进一步分析二面角的平面角的定义，教师的主要任务是揭示找角的方法是如何探索出来的。
    提出问题：刚才在定义二面角的平面角时，先确定棱上一点O，再作其平面角。若已知的点不在棱上，能否作出该二面角的平面角？
    通过点O的变动来深入研究定义，为学生实现知识创新提供了一个很好的切入点。

如图（1），点O在二面角α—a—β的一个面α内，过O如何作该二面角的平面角呢？
    根据定义容易作出该二面角的平面角，除此以外，就没别的办法吗？
让学生充分酝酿，议论和画图，通过探索找角的多种方法来训练学生的发散思维，从而提高学生的创新思维能力。同时让学生不但动脑思考，而且动手操作，促进他们独立思考能力、动手能力等多方面素质的整体发展。
    教师可视课堂的情况作必要的引导：不直接作AB⊥a可以吗？
    最后引导学生对研究结果进行总结以训练学生的收敛思维，有助于完善学生的思维结构。
    研究结果：找二面角的平面角有两种方法，方法一是根据定义，其优点是思路简单明了，缺点是角找出后，不易计算；方法二是根据三垂线定理或其逆定理，找角的关键是找到（或作出）平面的垂线，由于构造了一个直角三角形，因此角一旦找到，计算相对来说比较简单。
    这样就从深入研究概念入手，引导学生通过知识创新的方法，得到二面角的平面角的两种常用作法，由于学生亲身参与了方法的发现过程，因而印象深刻。为下阶段的解题作好准备， 
（四）、应用举例
    为巩固学生所学知识，重新设置了两道例题。两道例题都来源于实际生活，不但培养了学生分析问题和解决问题的能力，也让学生领会到数学概念来自生活实际，并服务于生活实际，从而增强他们应用数学的意识。两道例题由浅入深，由易到难，既体现了教学的巩固性原则，又兼顾了因材施教的原则。
例一、一张边长为10厘米的正三角形纸片BC，以它的高AD为折痕，折成一个1200二面角，求此时B、C两点间的距离。
分析：涉及二面角的计算问题，关键是找出（或作出）该二面角的平面角。引导学生充分利用已知图形的性质，最后发现可由定义找出该二面角的平面角。可让学生先做，为调动学生的积极性，并增加学生的参与感，活跃课堂的气氛，教师可给学生板演的机会。教师讲评时强调解题规范即必须证明∠BDC是二面角B—AD—C的平面角。  
变式训练：图中共有几个二面角？能求出它们的大小吗？
这是一道结论需要探索的问题，问题的开放性激发了学生的创新意识。在解决问题过程中，学生必须手脑并用，边画边想，既提出猜想，又作出判断，这对学生独立思考能力、动手能力等多方面素质的全面发展很有帮助。根据课堂实际情况，本题也可作为课后思考题。
例二、山坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是600，山坡上有一条直道CD，它和坡脚的水平线AB的夹角是300，沿这条路上山，行走100米后升高了多少米？ 
本例题对高一年的学生有一定的难度，应留足够     的时间让学生自主探索和动手操作，让学生充分思考，给学生试误的机会，充分暴露其思维过程。教师不必急于讲解，最后再给予适当的提示，引导他们利用三垂线定理及其逆定理作出该二面角的平面角。
解题后反思：求二面角的平面角的方法法是：先找（或作）——后证——再解（三角形）。         
引导学生进行解题后反思，对完善学生的认知结构是十分必要的，也为以后的创新作好了准备。                                              
                     （五）小结
在复习完二面角及其平面角的概念后，要求学生对空间中三种角加以比较、归纳，以促成学生建立起空间中角这一概念系统。
同时要求学生对本节课的学习方法进行总结，领会复习类比和深入研究这两种知识创新的方法。
（六）作业
课本（43页）：习题六   1、2
     课外思考题：点O为二面角α—a—β内部一点，过O如何作该二面角的平面角呢？（研究创新。答案：作棱的垂面）
      通过变换点O的位置，为学生继续创新提供了空间，同时也让学生领会到创新是永无止境的。
      课外研究题：类比平几中对顶角、内错角、同位角概念，提出立几中对棱二面角、内错二面角、同位二面角的概念，并证明它们都相等。（类比创新）
附一、 教学流程图  
     复习深化                    类比探索实验
                                 
    师：创设问题情境。生：动脑、动手    提出命题

    变式训练         深入研究          巩固练习