[高二]《椭圆标准方程》案例分析(人教版)

　　设计思路 
　　本节课书上内容较简单，如果仅按书照讲，学生也能掌握本节知识，但学生的能力得不到提高。新课标强调，教师应不只是知识的传授者，更是教学的组织者和引导者，课堂教学不仅是基本知识和基本技能的传授，还要重视获取知识的过程。问题连续体理论主张以“问题”为中心来展开教学，提出问题或发现问题，解决问题贯穿课堂始终。
　　1．椭圆是常见的曲线，学生通过引言课及日常生活的经验，对椭圆已有一定的认识．为了使学生掌握椭圆的本质特征，以便得出椭圆的定义，介绍两种画椭圆的方法，一种是保留了教材中的用一根细绳画椭圆的方法，主要是考虑到材料（细绳）取得比较容易，操作也比较简便，能调动学生积极性，培养学生动手能力；另一种是用计算机软件（比如用几何画板）画椭圆的方法，这个画法的好处是便于揭示椭圆形成的本质特征。（即便于观察出椭圆上点所要满足的几何条件），也为以后学习椭圆性质和双曲线打下伏笔，突出双曲线与椭圆的区别与联系。
　　2．在求方程时，为什么要把“焦距”和“常数”设为2c和2a?而不设为c和a？为此我想做两方面的解释。一方面这是为了使焦点及长轴两个端点的坐标不出现分数形式，以便导出椭圆的方程形式简单．另一方面，通过建系的对称设法，设定焦点，设了焦点以后，通过动画演示，通过改变动点P(x,y)在椭圆上的位置，观察“常数”与谁有关？从而类比焦点设法，得出设2a的合理性。在推导时令a2－c2＝b2学生可能也难以接受，因此再次利用课件改变动点P(x,y)在椭圆上的位置（即使点点P运动到短轴端点时），此时a,c恰为一直角三角形的斜边和直角边，因此令a2－c2＝b2比较合理，并且还可看到b的几何意义，另一方面也是为了使方程的形式整齐、便于记忆。
　　3．在初中的教学中并不要求化简带根式的方程，因此，这里带根式的方程的化简可能学生感到困难，特别是由点M适合的条件所列出的方程为两个根式的和等于一个非零常数，化简时要移项，要进行两次平方，再加上方程中字母超过三个，且次数高、项数多，造成难度加大。虽然前面习题中设计过两个根号的问题，但教学时，教师还应先点明这类方程化简的方法，即：①方程中只有一个根式时，需将它单独留在方程的一边，把其他各项移至另一边；②方程中有两个根式时，需将它们分别放在方程的两边，并使其中一边只有一项．
　　课堂实录
　　事例引出椭圆概念
　　问题1：你会比较规范的画椭圆吗？请利用手中的工具进行尝试。
　　生：小组活动，动手尝试，几分钟后，学生展示所画图形。
　　问题2：请观察在椭圆的形成过程中谁变谁不变？（师演示课件）（生答）
　　问题3：你能说出椭圆是满足什么条件的点的轨迹吗？
　　（满足这一条件的点的轨迹一定都是椭圆吗？）
　　生： 常数
　　教师明确：平面内与两定点的距离的和等于常数的点的轨迹叫椭圆。这两个点叫椭圆的焦点。两焦点的距离叫椭圆的焦距（板书）。
　　问题4：求轨迹方程的有哪些基本步骤？
　　生回答：1．建系设点2．列式3．代换4．化简5．证明（可省）抠点
　　问题5：如何建立坐标系？你认为如何建系比较合理？
　　学生发表意见：因为椭圆既是轴对称图形又是中心对称图形。所以以F1F2所在直线为轴,以F1F2中点为坐标原点建立平面直角坐标系。
　　设点：设P(x,y)为椭圆上任意一点，椭圆焦距为2c，则 F1(-c,0) ,F2 (c,0)
　　列式： 常数
　　问题6：如何表示上式的常数？通过改变动点P(x,y)在椭圆上的位置，观察该常数与椭圆的哪些基本量有关？
　　学生观察，找出规律：  长度与A1, A2点的坐标有关，类比F1，F2的设法，找出这个常数的合理设法。
　　师：如何化简两个根号的式子？
　　生回忆：需将它们分别放在方程的两边，并使其中一边只有一项．（一位同学扳演，其余学生纸上推导。）
　　题7：这种形式我们认为还不够简洁，因为2a>2c,即a>c,所以 >0即 是一个正常数，那么你认为如何设这个正常数更合理呢？（改变动点P(x,y)的位置观察 在图中的几何意义）
　　生：使点P运动到短轴端点时，此时a,c恰为一直角三角形的斜边和直角边，因此令a2－c2＝b2比较合理。
　　师板书：椭圆的标准方程：
　　焦点在x轴： （a>b>o）
　　师：焦点在y轴上的椭圆标准方程是什么？你能类比得到吗？
　　生答：x与y互换即得。
　　焦点在y轴： (a>b>o)
　　问题8：焦点在x轴和焦点在y轴上的椭圆标准方程有何共同点和不同点？
　　学生总结规律:共同点：左边是平方和，右边是1。
　　不同点：焦点在x轴的椭圆— 项分母较大
　　焦点在y轴的椭圆— 项分母较大
　　练习巩固（课件出示，生口答）
　　（一）以下关于的方程表示椭圆吗？ 
　　（二）写出下列椭圆方程中a,b,c 的值，并指出焦点所在位置
　　（1） 
　　（2） 
　　（3） 
　　（三）根据下列条件写出椭圆方程
　　（1）a=5,c=3,焦点在x轴的椭圆
　　（2）b=1,两个焦点的坐标分别为 的椭圆
　　（3）焦距为6，且椭圆上一点到两焦点距离的和是10
　　师：由此题可得出规律，应先定位（即确定焦点位置），再定量。
　　本节小结：
　　师：本节课都学到了什么？
　　生先答，师再补充：1个定义——椭圆定义
　　2个公式——焦点在x轴上椭圆标准方程
　　焦点在y轴上椭圆标准方程
　　3种思想方法——坐标法，数形结合法，分类讨论
　　结束语：今天我们知道了椭圆的定义，椭圆的两种标准方程，c与焦距有关a,b与椭圆有什么关系呢？椭圆有哪些性质呢，下节课研究。
　　 课后反思：
　　1．本节课以问题连续体理论为支撑点，并根据新课标理念，设计了八个问题，使问题贯穿了本节课。
　　2．从图片引入，动手实践，激发了学生的学习兴趣和研究椭圆的必要性，培养学生观察总结归纳能力
　　3．本节课突破了为什么要把“焦距”和“常数”设为2c和2a?而不设为c和a？以及为什么令a2－c2＝b2和为什么要规定”b>0，通过课件展示，增加直观性，更好的帮助学生理解了a,b,c的几何含义以及上述设法的合理性。
　　4．通过动手画椭圆，感受椭圆形成过程，从而找到椭圆形成的本质特征，并进一步培养了学生动手操作能力和小组合作意识。
　　5．通过动笔推导，化简两个根号，提高学生了运算能力。