[初三上]4.11 已知三角函数值求角2(人教版)

　　（第二课时）
　　一．教学目标
　　1．掌握已知一角的正切值，求角的方法．
　　2．掌握给定区间内，用反三角函数表示一个角的方法．
　　二．教学具准备
　　投影仪
　　三．教学过程
　　1．设置情境
　　师：请同学们看投影，回答问题
　　（1）若，，则．
　　（2）若，则．
　　生：（1）或．
　　（2）或．
　　师：回答正确．请同学结合上面两个小题的求解过程，总结一下已知三角函数值求角的一般步骤：
　　生：从上面两个小题的求解过程看，有三个步骤：
　　第一步，决定角可能是第几象限角．
　　第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角；如果函数值为负数，则先求了与其绝对值对应的锐角；
　　第三步，如果函数值为负数，则根据角可能是第几象限角，得出内对应的角—如果它是第二象限角，那么可表示为，如果它是第三或第四象限角，那么可表示为或．
　　师：总结得很好，本节课我们继续学习用反正切表示角的方法，先请同学看问题（投影仪）：
　　2．探索研究（此部分可由学生仿照正弦、余弦分析解决）
　　【例1】（1）已知，且，求（精确到）．
　　（2）已知，且，求的取值集合．
　　解：（1）由正切函数在开区间上是增函数和可知，符合条件的角有且只有一个，利用计算器可得（或）．
　　（2）由正切函数的周期性，可知时，，所以所求的的集合是．
　　下面讨论反正切概念，请看图形（图1）（投影仪）：
　　观察正切函数的图像的性质，为了使符合条件（为任意实数）的角有且只有一个，我们选择开区间作基本的范围，在这个开区间内，符合条件（为任意实数）的角，叫做实数反正切，记作，即，其中，且，那么，此例第（2）小题的答案可以写成．
　　表示的意义：表示一个角，角的特点是①角的正切值为x，因此角的大小受x的限制；②并不是所有满足的角都可以，只能是范围内满足的角；③由于x为角的正切值，所以x的值可为全体实数．
　　【例2】（1）已知，且，求．
　　（2）已知，且，求的取值集合．
　　解：（1）因为，所以．由正切函数在开区间上是增函数可知符合条件的角有且只有一个，所以．
　　（2）由正切函数的周期性，可知当时，．
　　∴所求的取值集合是．
　　参考例题（供层次高的学生使用）：
　　1．求值．
　　解：根据诱导公式，且，
　　∴．
　　评法：由于反正弦表示内的一个角，而，所以应先用诱导公式将其转化为区间内的角，再进行计算．
　　2．求的值．
　　解：∵、表示中的角
　　∴令，则，
　　，则
　　∴
　　又∵和均为锐角
　　∴
　　∴
　　3．演练反馈（投影）
　　（1）满足的的集合是（）
　　A．B．
　　C．D．
　　（2）已知是第二象限角，是，则．
　　（3）已知，，且为第三象限角，为第四象限角，求、．
　　参考答案：
　　（1）D（2），．
　　（3）
　　∵为第三象限角，为第四象限角．
　　∴，，
　　4．总结提炼
　　（1）由反正切定义知：，，
　　（2）已知：，，用表示
　　范围位置及大小
　　或
　　或
　　或